[Baekjoon/백준] 11444번: 피보나치 수 6(C/C++)

단계별로 풀어보기 20단계(분할 정복) 8번 문제

https://www.acmicpc.net/step/20

분할 정복 단계

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백준 11444번: 피보나치 수 6

https://www.acmicpc.net/problem/11444

11444번: 피보나치 수 6

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문제 설명

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

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입력과 출력

입력: 첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력: 첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

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접근 방법

이번 문제는 숫자 n을 입력받아 n번째 피보나치 수를 1000000007로 나눈 나머지를 출력하는 문제다.

일단 n의 숫자가 매우 크고 문제 설명에서 주어진 점화식이 있는 만큼, 이를 이용해서 분할 정복으로 풀이해야한다.

문제 설명에서 주어진 점화식을 행렬로 나타내면 위 식과 같이 되고, 이를 정리하면 아래 식처럼 나타낼 수 있다.

그러니까 1 1 1 0을 담고있는 행렬을 n제곱하면, 행렬에서 두번째 행 값(이중배열로 표현하면 result[1][0], 위 식에서의 F(n) 위치)이 n번째 피보나치 수가 된다. 이점만 알게되면 이전 문제 풀이에서 사용했었던 행렬 거듭제곱으로 문제를 해결할 수 있다.

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코드

#include <iostream>
using namespace std;

long long arr[2][2] = { { 1, 1 }, { 1, 0 } };
long long result[2][2] = { { 1, 0 }, { 0, 1 } };


void pow(long long a[2][2], long long b[2][2]) {
	long long temp[2][2];

	for (int i = 0; i < 2; i++)
		for (int j = 0; j < 2; j++) {
			temp[i][j] = 0;
			for (int h = 0; h < 2; h++)
				temp[i][j] += a[i][h] * b[h][j];
			temp[i][j] %= 1000000007;
		}

	for (int i = 0; i < 2; i++)
		for (int j = 0; j < 2; j++)
			a[i][j] = temp[i][j];
}


int main(int argc, char *argv[]) {
	long long n;
	cin >> n;

	while (n > 0) {
		if (n % 2 == 1)
			pow(result, arr);
		pow(arr, arr);
		n /= 2;
	}

	cout << result[0][1] << endl;

	return 0;
}

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결과

백준 제출 결과